【人教版】高中数学必修第二册 (A版): 从现实到数据：科学抽样的逻辑与途径

统计学是通过收集数据和分析数据来认识现象的一门科学。在现实生活中，我们往往无法调查每一个对象，因此需要通过“抽样”来以偏概全，实现科学推断。

1. 统计调查的核心术语

全面调查 (普查): 对每一个调查对象都进行调查的方法。
抽样调查 (Sampling Survey): 从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体情况作出估计和推断。
总体 (Population): 调查对象的全体。
个体 (Individual): 组成总体的每一个调查对象。
样本 (Sample): 从总体中抽取的那部分个体。
样本容量: 样本中包含的个体数。

2. 数据获取的多种途径

除了直接通过调查（如人口普查）获取数据，我们还可以通过：

试验: 在统计学中，安排试验的学问叫做“试验设计”。
观察: 在自然状态下收集信息。
查询: 获取前人已经收集好的数据，这种数据叫做二手数据。

样本具有随机性，由此样本估计总体时，所作出的统计推断结果具有或然性（即可能存在误差），这是运用统计结果解释实际问题时需要注意的。

比例公式：$\frac{n}{N} = \frac{\text{层样本量}}{\text{各层总体量}}$

QUESTION 1

为了了解某地参加计算机水平测试的 5,000 名学生的成绩，从中抽取了 200 名学生进行调查分析。在这个问题中，被抽取的 200 名学生是 ( )。

A. 总体

B. 个体

C. 样本

D. 样本量

QUESTION 2

一个公司共有 $N$ 名员工，下设一些部门，要采用样本量比例分配的分层随机抽样方法从全体员工中抽取样本量为 $n$ 的样本。如果某部门有 $m$ 名员工，那么从该部门抽取的员工人数是 ( )。

$\frac{m}{n} \cdot N$

$\frac{n}{N} \cdot m$

$\frac{m}{N} \cdot m$

$n - m$

QUESTION 3

下列调查中，最适合采用抽样调查的是 ( )。

调查一个县各村的粮食播种面积

了解一批玉米种子的发芽率

某企业调查员工的健康体检表

某班级学生的视力普查

QUESTION 4

某地区的公共卫生部门调查 200 名学生的吸烟情况，58 人回答“是”，你能估计出该地区吸烟学生所占的百分比吗？

29%

58%

20%

无法估计

QUESTION 5

简单随机抽样与分层随机抽样的主要区别在于 ( )。

样本容量的大小不同

是否每个个体入样的概率相等

是否根据个体差异进行分组抽样

数据处理的方法完全不同

QUESTION 6

对于 $m$ 个数据 $x_i$ 平均数为 $\bar{x}$，$n$ 个数据 $y_j$ 平均数为 $\bar{y}$，组合后的总平均数公式正确的是 ( )。

$\frac{\bar{x} + \bar{y}}{2}$

$\frac{m\bar{x} + n\bar{y}}{m+n}$

$\frac{\bar{x} + \bar{y}}{m+n}$

$\frac{m+n}{\bar{x} + \bar{y}}$

QUESTION 7

关于抽样调查的“或然性”，下列说法正确的是 ( )。

只要方法科学，结论就是绝对真理

抽样调查的结果没有任何参考价值

结论是基于样本推断的，存在随机性风险

普查的结果也会产生或然性错误

QUESTION 8

下列调查途径属于获取“二手数据”的是 ( )。

通过体育课实测学生的 100 米成绩

在图书馆查阅《统计年鉴》中的人口数据

设计问卷调查路人的消费习惯

通过化学实验记录反应时间

QUESTION 9

在分层随机抽样中，如果总体的容量为 1000，样本容量为 100，某层有 250 个个体，则该层应抽取的个体数为 ( )。

100

QUESTION 10

简单随机抽样中，每个个体入样的概率是 ( )。

$n/N$

$1/n$

$1/N$

挑战：统计方案设计与推断

阅读材料：市政府计划采用阶梯电价，通过 200 户居民的抽样数据（范围 50~350 kWh）决定标准。目标是使 75% 的居民处于第一档，20% 处于第二档，其余 5% 处于第三档。

1. [Short Answer] 证明分层抽样总均值公式：$\frac{\sum_{i=1}^m x_i + \sum_{j=1}^n y_j}{m+n} = \frac{m}{m+n}\bar{x} + \frac{n}{m+n}\bar{y}$

证明：根据平均数定义可知，$\sum_{i=1}^m x_i = m\bar{x}$ 且 $\sum_{j=1}^n y_j = n\bar{y}$。
将其代入左式分子中：
左式 $= \frac{m\bar{x} + n\bar{y}}{m+n} = \frac{m\bar{x}}{m+n} + \frac{n\bar{y}}{m+n} = \frac{m}{m+n}\bar{x} + \frac{n}{m+n}\bar{y}$。
证毕。该公式说明总平均数是各层平均数的加权平均值。

2. [Writing Task] 请你为“全校学生体重情况调查”设计一个方案（约 500 字）。

参考方案要点：
1. 明确目标： 了解全校学生的平均体重、肥胖率分布。
2. 确定总体与个体： 全校所有学生为总体，每位学生为个体。
3. 选择抽样方法： 考虑到不同年级、性别的发育差异显著，建议采用分层随机抽样。按年级（高一、高二、高三）及性别作为分层标准。
4. 确定样本容量： 根据人力成本，选取 10% 的学生（如 300 人）。
5. 实施数据收集： 使用实测法（体重秤记录），而非自报（二手数据可能存在偏差）。
6. 分析与推断： 计算样本均值与标准差，绘制频率分布直方图，并根据百分位数定义“超重”标准。

3. [Short Answer] 有人说：“抽样调查比普查节省人力物力，且结果差不多，所以抽样调查永远更可取。”你认为这种说法有道理吗？

参考答案：
这种说法有一定道理，但过于绝对。
(1) 优势： 抽样调查确实具有经济性、及时性，且在具有破坏性（如种子发芽率试验）或总体无限大时是唯一选择。
(2) 局限： 抽样调查存在抽样误差，结论具有“或然性”。对于需要极高精度、涉及国家重大决策（如人口普查）或法律要求必须全覆盖的情况，普查仍然不可替代。
(3) 结论： 应根据调查目的、成本及总体规模灵活选择。